Доведено критерії існування оборотних матриць, елементи яких належать полю лишків та є ненульовими. На основі отриманих математичних результатів розроблено алгоритм побудови систем ортогональних лінійних n-арних квазігруп довільної розмірності. Запропонований алгоритм забезпечує однозначність розв'язку відповідних систем рівнянь, що є необхідною умовою коректного процесу шифрування та дешифрування повідомлень. Наведено приклад побудови системи п'яти ортогональних квазігруп арності п'ять над скінченною множиною лишків, що підтверджує практичну реалізованість запропонованого підходу. Окрему увагу приділено оцінюванню криптографічної стійкості розробленого методу. Показано, що кількість можливих ключових матриць стрімко зростає зі збільшенням їх розмірності, що істотно ускладнює проведення атак методом повного перебору. Використання множини матриць різної розмірності та випадкового порядку їх застосування додатково підвищує рівень захищеності системи. Отримані результати можуть бути використані під час розроблення сучасних блочних криптографічних алгоритмів, систем захисту даних та інформаційно-комунікаційних мереж.